Elementos basicos de la geometria plana(construcciones)

ACTIVIDAD 1:"construcciones regla, compás y mas".

CONSTRUCCIÓN 1: construir al menos tres circunferencias.

Se trazan 3 segmentos de diferentes tamaños y a cada uno se les nombra con letras A,B,C,D..... 

Cada uno se esos segmentos los tomaras como la abertura de un compás para hacer circunferencias que también tendrán diferentes tamaños.El radio de las circunferencias sera igual a la medida de los segmentos con los que se elaboraron cada una de las circunferencias.

En conclusión, una circunferencia requiere para su trazo de un punto y un radio.

CONSTRUCCIÓN 2: si AB es un segmento entonces construye 3 segmentos congruentes a el usando regla y compás no graduados.

Se trazan tres rectas con la inclinación que sea y se pone un punto en cualquier parte de la recta, a este lo nombramos con cualquier letra.

  El compás se abre a la longitud del segmento AB con centro en el punto A y esa longitud a la que se abrió el compás se traslada a los otros segmentos con centro en el punto que se había marcado, se coloca otro punto donde quedo el compás y a ese igual se le nombra, y con eso hacemos segmentos congruentes al segmento AB.

Los segmentos son congruentes porque tienen la misma forma y medida.

CONSTRUCCIÓN 3: dado el angulo ABC construir un angulo A' B' C' que resulte congruente con aquel.

Para hacer lo que se nos pide es importante mencionar que los ángulos se miden al contrario de las manecillas del reloj, por lo tanto, se tiene que empezar a nombrarlos empezando por el extremo de abajo, luego el vértice y al final el extremo de arriba.

Ahora para construir lo que se nos pide se tiene que trazar un segmento en cualquier inclinación y se le nombra con las letras A'B'; después volemos al angulo ABC y se pone un punto en el segmento AB que se le va a nombrar con otra letra , a partir de ahí se pone el copiar con centro en el vértice y donde llegue la longitud se traza un arco; se hace lo mismo con el otro segmento y con la ayuda del arco se obtiene el otro segmento que hace que sean ángulos congruentes.

CONSTRUCCIÓN 4: dado el angulo ABC traza una recta o semirrecta que divida al angulo en 2 ángulos congruentes.

Tenemos que hacer centro en B, trazar un arco que corte los dos lados del angulo.
nomrar en donde cruzan.
Centrar y trazar en los dos puntos, trazar una semirrecta que nazca de B( vértice) y llegue a F'

CONSTRUCCIÓN 5: traza una recta que divida en 2 partes iguales.

Tenemos una recta que debemos convertir en un segmento AB al cual le tenemos que hacer una mediatriz y su característica de esta es que tienen que partir por la mitad al segmento AB y forma un angulo de 90°.

Se coloca en la recta 2 puntos (A, B).
Tomar medida de A y B.
Hacer centro en B y trazar un arco.
Hacer centro en A y trazar un  arco.
Ubicar los puntos donde se cruzaron y nombras.
Trazar una linea recta.

CONSTRUCCIÓN 6: traza una recta que divida a un segmento en tres partes iguales.

De la recta que se tiene, se convierte un segmento colocando 2 puntos uno nombrandolo como A y otro como B luego utilizando el punto A como referencia se traza una recta.
Después se habré el compás a cierta distancia y se trazan dos marcas en la recta elaborada , estas deben ser del mismo tamaño.
con una regla que se coloca en la recta y una escuadra que se pegara a la regla de forma que queden perpendiculares; en el segmento AB se marcan los mismos dos puntos de la recta que se había hecho para que queden segmentos iguales.

CONSTRUCCIÓN 7: si L es una recta y P un punto fuera de ella, construir una recta que represente la distancia que existe entre dicho punto y dicha recta.

Se pone centro en P y se habré el compás con una distancia que pase la recta que tenemos, después hacemos una marca en cada extremo de la recta con ayuda del compás. Después el compás se habré a la distancia de las marcas que se hicieron anteriormente y haciendo centro en una de ellas se marca un arco y lo mismo se hace con la otra para que se crucen; el punto donde se cruzan se une con P y se traza una recta.

CONSTRUCCIÓN 8: si L es una recta y P un punto sobre esta, entonces construir una recta perpendicular a L que pase por P.

Se le colocan dos marcas a la recta con ayuda del compás a cierta abertura y con centro en P. Después con ayuda de los trazos que usaremos como centros y abrimos el compás a una distancia que pase del punto P  y se hace un arco en la parte de arriba y en la de abajo; se realiza lo mismo con la otra marca que se había trazado en la recta. En los puntos donde se cortan los arcos formados se traza una recta.

CONSTRUCCIÓN 8-1:Si L es una recta y P un punto sobre esta, entonces construir una recta paralela a L que pase por P.

Con ayuda del punto P se abre a una distancia el compás cuidando que la medida pase la recta que se tiene trazada y con esta medida se trazan dos puntos en la recta.

se hace centro en un punto que marcamos y se traza media circunferencia que quede en la recta y se hace lo mismo con el otro punto.

Después con la primera media circunferencia q se trazo; hacemos centro en el punto del extremo derecho de esta y se marca otra media circunferencia. Con el otro extremo, el que se encuentra de lado izquierdo se hace centro y se hace una marca para poder colocar otro punto que se va a cruzar con otra marca que se va a obtener haciendo centro en el primer punto de la otra media circunferencia que hicimos al principio y que no hemos ocupado. Se cruzan las dos marcas y ahí se marca un punto en donde se intersectan.

Luego haciendo centro en el ultimo punto ubicado en la recta se hace otra marca q cruzara con una circunferencia y ahí habrá otro punto.

Se unen los dos puntos con el punto P y se construye un segmento. 

CONSTRUCCIÓN 9: Postulado de las rectas paralelas y su inverso.

En esta construcción se quiere demostrar que en dos rectas que son cortadas por una transversal sus ángulos son congruentes.

ACTIVIDAD 3) "triángulos, sus rectas y puntos notables".

CONSTRUCCIÓN 12: Triángulos
Construye 2 triángulos: uno cuyas longitudes de sus 3 lados sean iguales al segmento AB,  y el otro al segmento AC. Clasifica ambos triángulos con sus lados y a sus ángulos.

Para construir estos dos triángulos se ocupa el compás que transportara medidas a nuevos segmentos.
Para construir el primer triangulo se traza una semirrecta; se abre el compás a la medida del segmento AB. Se transporta la medida al segmento  que se había hecho y se hace centro en cada uno de los puntos para tener el punto donde se cruzaran; al final se unen los 3 puntos.
para construir el segundo triangulo, se traza otra semirrecta y se hace lo mismo solo que el compás tiene que tener la medida del segmento AC.
Estos triángulos tienen sus 3 lados iguales y se llaman equilateros.

CONSTRUCCIÓN 13: Triángulos
Construye 2 triángulos: el primero con 2 lados cuya longitud sea igual al segmento AB y el tercer lado al segmento BC. Y el segundo con dos segmentos iguales al segmento AB y el tercer lado al segmento AC. Clasifica ambos triángulos de acuerdo con sus lados y a sus ángulos.

Se hace algo parecido a los triángulos que se hicieron en la construcción pasada solo que sus 3 lados no serán de la misma medida.
Para el primer triangulo, se traza una semirrecta, el compás se abre a la medida del segmento AB y se pasa esa medida a la semirrecta, haciendo centro en un punto marcado se hace una marca con esa medida. Para el otro lado se habré el compás a la medida del segmento BC, en donde se intersectan las marcas se pone el punto y al final se unen los 3 puntos.
Para el segundo triangulo, se traza otra semirrecta, el compás se abre a la medida del segmento AB y se pasa esa medida a la semirrecta, haciendo centro en un punto marcado se hace una marca con esa medida. Para el otro lado se habré el compás a la medida del segmento AC, en donde se intersectan las marcas se pone el punto y al final se unen los 3 puntos.
Ambos son triángulos isósceles pero pueden ser acutángulo, obtusángulo y rectángulo.

CONSTRUCCIÓN 14: Triangulo escaleno.
Construye 2 triángulos:uno con las longitudes de los segmentos AC, BD, AD y el otro con las longitudes de los segmentos AC, BD, AD Clasifica ambos triángulos de acuerdo con sus lados y a sus ángulos.

Se construye una semirrecta, el compás se habré a la medida del segmento AB y esa se transporta a la semirrecta para convertirla en segmento; se cambia la medida del compás al segmento BC y haciendo centro en un punto del segmento echo, se marca la medida y luego se vuelve a cambiar la abertura del compás a la del segmento CD, se hace centro en el otro punto y se marca esa medida hasta que se intersecte con la otra marca y formen un punto. Al final se unen los 3 puntos.

Para el otro triangulo se vuelve a trazar una semirrecta, el compás se habré a la medida del segmento AC y esa se transporta a la semirrecta para convertirla en segmento; se cambia la medida del compás al segmento BD y haciendo centro en un punto del segmento echo, se marca la medida y luego se vuelve a cambiar la abertura del compás a la del segmento AD, se hace centro en el otro punto y se marca esa medida hasta que se intersecte con la otra marca y formen un punto. Al final se unen los 3 puntos.

Sean rectos, obtusángulos o acutángulos pueden ser triángulos isósceles.

CONSTRUCCIÓN 15: Desigualdad del triangulo.
¿Se puede construir un triangulo cuyos lados miden cualesquiera valores? Si no es así entonces averigua que requisito necesita cumplir cada lado. Construye con tu regla y compás triángulos cuyos lados midan:
a) 2, 4, 5 unidades.
b) 2, 6, 2 unidades.
c) 6, 3, 2 unidades.
Para ver si es posible construir esos triángulos se hace lo mismo que en las construcciones anteriores pero las medidas a las que se habré el compás son las que se presentan en los segmentos.
El primero se puede construir y los otros dos no.
Para que se puedan construir se tiene que cumplir la "desigualdad del triangulo". La suma de los 2 lados mas cortos debe ser mayor que el tercer lado.

CONSTRUCCIÓN 16: Suma de ángulos interiores.
Dado el siguiente triangulo prueba que la suma de los ángulos interiores es igual a 180°.

Nombras los vértices del triangulo  con las letras A, B y C.
Se hace centro en B y se abre el compás a la medida que sea, luego se hace centro en A. Se corta el segmento primero con centro en A, luego con centro en B y al final con centro en C; con todos se traza la meitad de la circunferencia. Al final haces centro en el punto donde se intersecto lo que trazaste del punto C y lo del A, trazas una marca que va a cortar la media circunferencia del punto A; ahora se hace centro en donde se intersecto en la parte de abajo de la circunferencia del punto A con el lado del triangulo y de igual forma trazas una marca. Se van a unir los dos puntos que harán un segmento.

CONSTRUCCION 17: Suma de ángulos exteriores.
Dado el siguiente triangulo prueba que la suma de los ángulos exteriores es igual a 360°.

Para lograr esto tienes que nombrar los vértices del triangulo con las letras A, B y C, después tienes que prolongar los lados del triangulo.
Se abre el compás a una medida que quieras y con esa trazas los ángulos exteriores del triangulo con los lados prolongados.
Debajo del triangulo traza un circulo con la abertura que ya tenias y le trazas una recta que pase por el centro y a este le transportas la medida de los ángulos, se debe completar el circulo.

CONSTRUCCIÓN 18: Suma de dos ángulos interiores es igual al angulo exterior no adyacente. Dado el triangulo prueba que la suma de dos ángulos es igual al angulo exterior no adyacente.

Para lograr esta construccion lo que debemos hacer primero es prolongar los 3 lados del triangulo como ya lo habiamos echo en la construccion pasada, con ayuda del compas vamos a trazar los 3 angulos exteriores del triangulo.
Abrimos el compas a una distancia pequeña y se hace centro en un vertice, se marca la abertura y se hace todo lo necesario para trazar la bisectriz de ese angulo que se esta formando, tal como anteriormente ya se habia explicado.
Se hace lo mismo con todos los vertices del triangulo y obtenemos 2 angulos exteriores en cada uno de los vertices.

RECTAS Y PUNTOS NOTABLES EN UN TRIANGULO.

CONSTRUCCIÓN 19) Construye en el triangulo ABC, las tres mediatrices de sus lados y marca el punto de intersección entre las mismas.

Se hace centro en el punto A y se abre el compas a una abertura mayor que la mitad de un lado del triangulo, con esta se traza la mitad de una circunferencia y de la misma forma se hace con el punto C; se unen los dos puntos que se formaron con una recta. De igual forma se marca la media circunferencia del punto B. Se hacen las mediatrices de los 3 lados del triangulo. El punto en donde todas se cruzan te servira para hacer centro y formar una circunferencia que pase por los puntos A, B y C.

CONSTRUCCIÓN 20) Construye en el triangulo ABC, las tres bisectrices de sus ángulos.

Hacemos centro en C y se habré el compás a una abertura que sea mas de la mitad del lado del triangulo, se hacen las marcas de los dos lados y con esta se construye la bisectriz así como las veces anteriores. Se hace lo mismo con todos los puntos para sacar las bisectrices de todos los ángulos.
El punto en que se intersectan las 3 bisectrices se llama incentro y ahí hacemos centro y la abertura del compás sera del incentro al lado del triangulo AB, marcamos la circunferencia y se debe de trazar adentro del triangulo y debe rozar los 3 lados de este.

CONSTRUCCIÓN 21) Construye en el triangulo ABC, las tres medianas de sus ángulos.

Se abre el compás a mas de la mitad de todos los lados del triangulo y se hace una marca en el lado del triangulo haciendo centro en cada uno de los vértices del triangulo.
Después haciendo centro en las marcas que hiciste anteriormente; se hace un pequeño angulo con cada una de estas marcas, se hacen las mediatrices de todos los lados pero no se trazan, solo se ocuparan para elaborar un punto medio q serán las medianas. Se marca el punto en donde se intersectan.

CONSTRUCCIÓN 22) Construye en el triangulo ABC, las tres alturas de sus triángulos.

Haciendo centro en B y abriendo el compas a mas de la mitad de los 2 lados que lo unen y se hace marca en los 2 lados; se hace centro en las 2 marcas que hicimos y con estas se traza la bisectriz del punto B.
Para las alturas de los otros lados se prolonga el lado AB y el lado BC

CONSTRUCCIÓN 23) Determina cual es la suma de los ángulos internos de los siguientes polígonos, y escribe una generalización para la generalización de la suma de los ángulos internos de un polígono.

Se nombra al polígono y se marcan sus ángulos.
Dependiendo del numero de lados del polígono sera la suma de sus ángulos interiores.
Existe una formula que nos permite calcular la suma de los ángulos internos de un polígono y solo necesitamos el numero de lados que tiene el polígono y esta es:
(n-2)180°.

CONSTRUCCIÓN 24) Determina cual es la suma de los ángulos exteriores de los siguientes polígonos, y escribe una generalización para la generalización de la suma de los ángulos exteriores de un polígono.

Aquí es similar al caso de arriba solo que aquí se calcula la suma de los ángulos exteriores del polígono y se una formula pero diferente a la anterior y esta es:
(180*n)-(n-2)180°=180n.