¿COMO LE HICIERON LOS GRIEGOS PARA CALCULAR EL PERÍMETRO DE UNA CIRCUNFERENCIA?

¿Cómo Eratóstenes midió la circunferencia de la tierra hace 2 mil años?

El matemático griego Eratóstenes, se dio cuenta de que en el día del solsticio de verano (21 de junio) al medio día, en la ciudad de Siena (hoy Asuán) la luz del sol no proyectaba ninguna sombra sobre el fondo de un pozo, pero en la ciudad de Alejandría, situada al norte de Siena, en el mismo día y a la misma hora sí se proyectaba una sombra sobre el fondo de un pozo.

El solsticio de verano es el día mas largo del año y es producido por la inclinación del eje de la tierra. En el solsticio de verano del hemisferio Norte el Sol alcanza el cenit al mediodía sobre el Trópico de Cáncer, es decir, que en los lugares situados allí, el 21 de junio los rayos del sol caen verticalmente sobre la tierra, y por supuesto como esta es redonda, en los demás lugares caen inclinadamente. La ciudad de Siena esta ubicada muy cerca de la línea del trópico de cáncer.

La observación de Eratóstenes confirmaba algo que otros griegos ya sospechaban: que la tierra era redonda; puesto que si fuera plana, en Alejandría no debería proyectarse ninguna sombra sobre el pozo al igual que en Siena.  Además, porque se nota la curvatura en el cielo, porque mientras mas uno viaja al norte hay estrellas y constelaciones que se ven cada vez mas arriba como la de Polaris, y otras que simplemente desaparecen en horizonte como la de Canopus.

Hechas estas observaciones a Eratóstenes se le ocurrió una brillante idea. El día 21 de junio al medio día en Alejandría tomó un palo y midió el ángulo de la sombra que se proyectaba sobre este y anotó que era una cincuentava parte de un circulo (en aquellos tiempos no existían las nociones de grados). La 50ava parte de un circulo (360 grados) equivale a 7.2 grados.

Entonces como ese mismo día a esa misma hora los rayos del sol caían verticalmente sobre Siena proyectando sombras de 0 grados sobre una vertical, entonces entre Siena y Alejandría había una distancia de 7.2 grados o la 50ava parte de la circunferencia de la tierra. (Eratóstenes asumió que la tierra era perfectamente circular).

Eratóstenes ya sabia de las caravanas que comerciaban entre ambas ciudades, que había una distancia estimada de 5,000 estadios entre ellas. Por lo tanto, simplemente multiplicó por 50. Esto es 250,000 estadios. El estadio era la unidad griega de longitud, que variaba de una localidad a otra entre 157.5 metros a 184.8 metros. El estadio utlizado por Eratóstenes fue el ático-italiano de 184.8 metros. Esto es 46,200 kms.

En las primera gráfica la maqueta esta inclinada pero en dirección al sol, no se produce sombra. En la segunda se inclino la maqueta pero manteniendola recta y la sombra que se produce en ambas es igual. En la tercera y cuarta gráfica  entonces se curva la maqueta dejando el primer palito en dirección al sol, y vemos como en el segundo palito la sombra es larga pero en el primero no hay.

                             

Debemos aclarar algo antes de continuar: ¿Cómo Eratóstenes midió el ángulo de la sombra que se proyectaba? Lamentablemente el libro escrito por el propio Eratóstenes: “Sobre las medidas de la tierra”, que nos brindaría detalles sobre sus descubrimientos; se perdió, al igual que pasó también con muchos otros escritos de la antiguedad; que no sobrevivieron a las destrucciones de la biblioteca de Alejandria (por maremoto, incendios de invasores) y de la cual Eratóstenes fue su tercer director. El astrónomo griego Cleómedes en su obra “sobre el movimiento de los cuerpos celestes” que es la principal fuente original a través de la cual conocemos de los descubrimiento de Eratóstenes, solo dice que este utilizó un gnómon, que es un palo o estilete vertical que proyecta su sombra sobre una superficie horizontal, pero no dice cómo midió la sombra que se proyectaba, pero a partir de esto solo hay dos maneras posibles de hacerlo: La primera y la que todos conocemos, es utilizando funciones trigonométricas. En este caso sería hallando el valor de la tangente, es decir, la medida de la sombra dividido entre la medida de la vara (cateto opuesto sobre cateto adyacente), y luego le sacamos la arcotangente ( tan-1) con la calculadora para obtener el ángulo de la tangente, y opcionalmente la llevamos a grados con el botón (.,,,) de la Casio. Pero las complejidades y abstractismo del cálculo diferencial e integral no estaban disponibles para aquella época.

En mi afán por resolver este misterio, descubrí o redescubrí una técnica sencilla pero olvidada, utilizando simplemente un compás. Simplemente Eratóstenes trazaría a escala en un plano (o en un papiro) la medida de la vara y de la sombra en el suelo y le trazaría la hipotenusa, luego voltearía el plano para comodidad por supuesto, quedando el lado opuesto a la hipotenusa (o la medida a escala del gnomon) como una recta horizontal e interpondría un compás con un lado en el vértice que se forma entre la hipotenusa y la medida del gnomon y trazaría un circulo alrededor. Luego en el punto en el que la hipotenusa intersecta con la circunferencia se coloca un lado del compás y el otro lado del compás se coloca más abajo en el punto en donde la circunferencia trazada toca con la recta horizontal. Dejamos el compás con esa misma medida y empezamos a medir sobre la circunferencia cuantas partes de ella equivalen. Pero Eratóstenes tampoco tuvo que haber utilizado un compás necesariamente; cualquier vertical que gire sobre su propio eje, formará un círculo perfecto.

Utilicé el programa “regla y compás” para construir digital y exactamente la circunferencia y los ángulos. Como podemos ver la mitad de la circunferencia que elaboré está dividida en 25 partes iguales de 7.2 grados.

Pueden interponer un transportador transparente o un compás sobre la pantalla y comprobarlo ustedes mismos.

 Abajo tenemos compases de la época greco-romana guardados en el museo británico.

 

Ahora tenemos un simple gnomon que utilizaría Eratóstenes y luego tres gnomons utilizados para marcar la hora (relojes solares).

                             

La medida de la circunferencia de la tierra, realizada por satélites avanzados, es de 40,008 kms aproximadamente. Si tomamos en cuenta la simpleza y rudimentaria, aunque ingeniosa técnica utilizada por Eratóstenes, la aproximación de su cálculo fue asombrosa. Solo se equivocó en 6,192 kms. Esto es un 15%.

Ahora bien, utilicemos las poderosas herramientas tecnológicas que poseemos hoy día, MapCrow y Google Map, y rehagamos el cálculo de Eratóstenes con medidas exactas a ver si su razonamiento era correcto.

La latitud es la distancia angular aproximada entre la línea ecuatorial y un punto determinado del planeta. Son las líneas horizontales que hay en un mapa. Se expresan en medidas angulares que varían desde los cero grados del ecuador hasta los 90 grados del polo Norte o los 90° del polo Sur.  Si trazamos una recta que vaya desde un punto cualquiera de la tierra hasta el centro de la misma, el ángulo que forma esa recta con el plano ecuatorial expresa la latitud de dicho punto.

Antes de continuar, hay 3 supuestos que debemos tomar en cuenta:

1) Suponemos que la tierra es perfectamente redonda.  Un grado de latitud no mide exactamente lo mismo en cada lugar, sino que varía ligeramente de 110,57 km en el ecuador hasta 111,70 km en los polos, por eso no podemos asumir que 7 grados entre Alejandria y Siena tendrán la misma distancia que 7 grados entre Alejandria y alguna ciudad de Turquía. Por eso nuestro resultado no podría ser nunca exactamente igual al que hicieron los avanzados satélites de millones de dólares.

2) Si hacemos la resta de las longitudes (las líneas verticales del mapa) hay una diferencia de 3 grados (Eratóstenes suponía que estaban en la misma longitud).

3) Otro pequeño error de Eratóstenes, es que realmente Siena no estaba ubicada exactamente sobre la línea del trópico de cáncer (los puntos donde los rayos del sol caen a la tierra verticalmente el 21 de junio). Hoy día esta a 72 kms (desde el centro de la ciudad). Pero debido a que las variaciones del eje de la tierra fluctúan de entre 22.1 y 24.5 grados en un período de 41 mil años, hace 2 mil años estaba ubicada a 41 kms  -Para calcular las coordenadas de la línea del trópico utilicé la aplicación de neoprogrammics.com y calculé los valores para el año -200.-

Veamos:

Si hacemos la resta de las latitudes, habría una distancia angular de 7.1106 o 7º 6′ entre ambas ciudades. Esto significa que la distancia entre Alejandría y Asuán sería una 50.6286ava parte de una circunferencia (360 grados). A Eratóstenes le dio una 50ava parte de una circunferencia que es 7.1997 o 7º 12′.

La distancia no es de 924 kms, sino de 843 kms. 81 kms de diferencia -Distancia aérea y hasta el centro de las ciudades.-

El cálculo corregido de Eratóstenes da como resultado 42, 662 kms. El error es de solo 2,654 kms o 6.6 %.

El razonamiento de Eratóstenes fue bastante correcto. Los 3 supuestos que hizo realmente no afectaron mucho el resultado, por lo que se puede considerar que fueron bastante válidos dada las limitaciones de aquella época.

Ahora vayamos a Daftlogic.com y calculemos la distancia entre la ciudad de Alejandría y un punto en el mapa en donde exista la misma longitud de la de Alejandría (29.9192) y que esté ubicada exactamente en la línea del trópico que es la latitud 23° 26′  o 23.4377.

Si restamos las coordenadas de Alejandría y de la línea del trópico de cáncer nos da una distancia angular de 7.7604, lo que significa una 46.3894ava parte de una circunferencia y multiplicados por los 863.876 kms esto nos da 40, 074. Impresionante! Solo 66 kms de diferencia (un 0,16%) del calculo que actualmente se aproxima tiene la tierra.

Si ajustamos ahora el trópico de cáncer a la posición en la que se encontraba en el año -200 A.C, entonces encontraremos la verdadera medida de la sombra que se proyectó en la vara de Eratóstenes en Alejandría el 21 de junio al medio día hace 2,200 años: 7.4815 que es 7° 29′. Si trazamos la medida de 7.4815 en nuestro programa informático esto hace 48.1 partes de una circunferencia. 48 partes de una circunferencia multiplicados por los 863.876 km de distancia entre Alejandría y la línea del trópico hace 41,561 kms. Así que entre los errores de Eratóstenes tendríamos que agregar 0.2818 que es 0° 17′ grados de equivocación en la medición del ángulo de la sombra. Esto porque con un lápiz, o una punta fina, es imposible distinguir entre 7.0 y 7.2 grados, y muy difícil entre 7.0 y 7.5 grados. Era de esperarse que las divisiones de la circunferencia de Eratóstenes pudieran tener un margen de error de hasta 4 partes de una circunferencia. Se equivocaría en dos partes demás, lo cual no está mal considerando los instrumentos.

150 años después de Eratóstenes, el matemático también griego Posidonio, utilizó un método similar al de Eratóstenes (también descrito por Cleómedes en su obra), pero en vez de utilizar al sol como referencia, utilizó a una estrella llamada Canopus (la segunda estrella más brillante en el firmamento). Se dio cuenta de que en Rodhas esta estrella apenas se divisaba sobre el horizonte, pero estando en Alejandría esa estrella se encontraba más arriba en el cielo. Midió la longitud del arco que se trazaba entre las dos posiciones de la estrella, seguramente utilizando un astrolabio, y supongo que restando la medición del ángulo de la estrella en el cielo de Alejandría menos el ángulo en cielo de Rodas, para así encontrar la distancia angular entre Rodas y Alejandría. Pero la medición de Posidonio fue incorrecta. Le dio una distancia de 7. 5 grados o 7º 30′; cuando en realidad como vemos en el mapa, es de solo 4.97. Su error en la medición del ángulo debió haber radicado en que el astrolabio realmente no era muy preciso (aun menos los astrolabios primitivos), por eso fue reemplazado por el sextante 1,500 años después. La distancia entre Rodhas y Alejandría en realidad representa una 72ava parte de una circunferencia y no una 48ava parte.

Si hacemos el cálculo con los datos correctos nos da 42,014 kms. El cálculo de Posidonio resultó en 28,968 kilómetros (28 % de error con respecto a la circunferencia real de la tierra). Fue esta medición y no la de Eratóstenes la que utilizó Tolomeo en su famosa obra  “Geographia”. Colón nunca leyó a Tolomeo, sino a otros autores de su epoca como Pierre de Ailly, quien basándose en el cálculo de Posidonio utilizado en Geographia, estimó la distancia entre las islas Canarias y Cipango (Japón). Pero Colón agregó otro error más al asunto, al suponer que Ailly hablaba de millas italianas cuando en realidad se refería a millas árabes (que son más largas). Colon creía que entre las islas Canarias y Cipango había unas 2,400 millas marinas, cuando en realidad había 10,700. Por suerte para el, se encontró un continente de por medio antes de llegar a Asia.

Este error en la medición de la circunferencia de la tierra ha sido seguramente el que más ha incidido en toda la historia de la humanidad. Si Colón hubiera sabido de la longitud de la circunferencia terrestre calculada por Eratóstenes, jamás hubiera realizado su viaje, pues ningún barco de aquella época podía almacenar agua y provisiones suficientes para permanecer tanto tiempo en altamar, y el descubrimiento de una ruta de ida y vuelta hacia América se hubiera retrasado quizá cientos de años.

Elementos basicos de la geometria plana(construcciones)

ACTIVIDAD 1:"construcciones regla, compás y mas".

CONSTRUCCIÓN 1: construir al menos tres circunferencias.

Se trazan 3 segmentos de diferentes tamaños y a cada uno se les nombra con letras A,B,C,D..... 

Cada uno se esos segmentos los tomaras como la abertura de un compás para hacer circunferencias que también tendrán diferentes tamaños.El radio de las circunferencias sera igual a la medida de los segmentos con los que se elaboraron cada una de las circunferencias.

En conclusión, una circunferencia requiere para su trazo de un punto y un radio.

CONSTRUCCIÓN 2: si AB es un segmento entonces construye 3 segmentos congruentes a el usando regla y compás no graduados.

Se trazan tres rectas con la inclinación que sea y se pone un punto en cualquier parte de la recta, a este lo nombramos con cualquier letra.

  El compás se abre a la longitud del segmento AB con centro en el punto A y esa longitud a la que se abrió el compás se traslada a los otros segmentos con centro en el punto que se había marcado, se coloca otro punto donde quedo el compás y a ese igual se le nombra, y con eso hacemos segmentos congruentes al segmento AB.

Los segmentos son congruentes porque tienen la misma forma y medida.

CONSTRUCCIÓN 3: dado el angulo ABC construir un angulo A' B' C' que resulte congruente con aquel.

Para hacer lo que se nos pide es importante mencionar que los ángulos se miden al contrario de las manecillas del reloj, por lo tanto, se tiene que empezar a nombrarlos empezando por el extremo de abajo, luego el vértice y al final el extremo de arriba.

Ahora para construir lo que se nos pide se tiene que trazar un segmento en cualquier inclinación y se le nombra con las letras A'B'; después volemos al angulo ABC y se pone un punto en el segmento AB que se le va a nombrar con otra letra , a partir de ahí se pone el copiar con centro en el vértice y donde llegue la longitud se traza un arco; se hace lo mismo con el otro segmento y con la ayuda del arco se obtiene el otro segmento que hace que sean ángulos congruentes.

CONSTRUCCIÓN 4: dado el angulo ABC traza una recta o semirrecta que divida al angulo en 2 ángulos congruentes.

Tenemos que hacer centro en B, trazar un arco que corte los dos lados del angulo.
nomrar en donde cruzan.
Centrar y trazar en los dos puntos, trazar una semirrecta que nazca de B( vértice) y llegue a F'

CONSTRUCCIÓN 5: traza una recta que divida en 2 partes iguales.

Tenemos una recta que debemos convertir en un segmento AB al cual le tenemos que hacer una mediatriz y su característica de esta es que tienen que partir por la mitad al segmento AB y forma un angulo de 90°.

Se coloca en la recta 2 puntos (A, B).
Tomar medida de A y B.
Hacer centro en B y trazar un arco.
Hacer centro en A y trazar un  arco.
Ubicar los puntos donde se cruzaron y nombras.
Trazar una linea recta.

CONSTRUCCIÓN 6: traza una recta que divida a un segmento en tres partes iguales.

De la recta que se tiene, se convierte un segmento colocando 2 puntos uno nombrandolo como A y otro como B luego utilizando el punto A como referencia se traza una recta.
Después se habré el compás a cierta distancia y se trazan dos marcas en la recta elaborada , estas deben ser del mismo tamaño.
con una regla que se coloca en la recta y una escuadra que se pegara a la regla de forma que queden perpendiculares; en el segmento AB se marcan los mismos dos puntos de la recta que se había hecho para que queden segmentos iguales.

CONSTRUCCIÓN 7: si L es una recta y P un punto fuera de ella, construir una recta que represente la distancia que existe entre dicho punto y dicha recta.

Se pone centro en P y se habré el compás con una distancia que pase la recta que tenemos, después hacemos una marca en cada extremo de la recta con ayuda del compás. Después el compás se habré a la distancia de las marcas que se hicieron anteriormente y haciendo centro en una de ellas se marca un arco y lo mismo se hace con la otra para que se crucen; el punto donde se cruzan se une con P y se traza una recta.

CONSTRUCCIÓN 8: si L es una recta y P un punto sobre esta, entonces construir una recta perpendicular a L que pase por P.

Se le colocan dos marcas a la recta con ayuda del compás a cierta abertura y con centro en P. Después con ayuda de los trazos que usaremos como centros y abrimos el compás a una distancia que pase del punto P  y se hace un arco en la parte de arriba y en la de abajo; se realiza lo mismo con la otra marca que se había trazado en la recta. En los puntos donde se cortan los arcos formados se traza una recta.

CONSTRUCCIÓN 8-1:Si L es una recta y P un punto sobre esta, entonces construir una recta paralela a L que pase por P.

Con ayuda del punto P se abre a una distancia el compás cuidando que la medida pase la recta que se tiene trazada y con esta medida se trazan dos puntos en la recta.

se hace centro en un punto que marcamos y se traza media circunferencia que quede en la recta y se hace lo mismo con el otro punto.

Después con la primera media circunferencia q se trazo; hacemos centro en el punto del extremo derecho de esta y se marca otra media circunferencia. Con el otro extremo, el que se encuentra de lado izquierdo se hace centro y se hace una marca para poder colocar otro punto que se va a cruzar con otra marca que se va a obtener haciendo centro en el primer punto de la otra media circunferencia que hicimos al principio y que no hemos ocupado. Se cruzan las dos marcas y ahí se marca un punto en donde se intersectan.

Luego haciendo centro en el ultimo punto ubicado en la recta se hace otra marca q cruzara con una circunferencia y ahí habrá otro punto.

Se unen los dos puntos con el punto P y se construye un segmento. 

CONSTRUCCIÓN 9: Postulado de las rectas paralelas y su inverso.

En esta construcción se quiere demostrar que en dos rectas que son cortadas por una transversal sus ángulos son congruentes.

ACTIVIDAD 3) "triángulos, sus rectas y puntos notables".

CONSTRUCCIÓN 12: Triángulos
Construye 2 triángulos: uno cuyas longitudes de sus 3 lados sean iguales al segmento AB,  y el otro al segmento AC. Clasifica ambos triángulos con sus lados y a sus ángulos.

Para construir estos dos triángulos se ocupa el compás que transportara medidas a nuevos segmentos.
Para construir el primer triangulo se traza una semirrecta; se abre el compás a la medida del segmento AB. Se transporta la medida al segmento  que se había hecho y se hace centro en cada uno de los puntos para tener el punto donde se cruzaran; al final se unen los 3 puntos.
para construir el segundo triangulo, se traza otra semirrecta y se hace lo mismo solo que el compás tiene que tener la medida del segmento AC.
Estos triángulos tienen sus 3 lados iguales y se llaman equilateros.

CONSTRUCCIÓN 13: Triángulos
Construye 2 triángulos: el primero con 2 lados cuya longitud sea igual al segmento AB y el tercer lado al segmento BC. Y el segundo con dos segmentos iguales al segmento AB y el tercer lado al segmento AC. Clasifica ambos triángulos de acuerdo con sus lados y a sus ángulos.

Se hace algo parecido a los triángulos que se hicieron en la construcción pasada solo que sus 3 lados no serán de la misma medida.
Para el primer triangulo, se traza una semirrecta, el compás se abre a la medida del segmento AB y se pasa esa medida a la semirrecta, haciendo centro en un punto marcado se hace una marca con esa medida. Para el otro lado se habré el compás a la medida del segmento BC, en donde se intersectan las marcas se pone el punto y al final se unen los 3 puntos.
Para el segundo triangulo, se traza otra semirrecta, el compás se abre a la medida del segmento AB y se pasa esa medida a la semirrecta, haciendo centro en un punto marcado se hace una marca con esa medida. Para el otro lado se habré el compás a la medida del segmento AC, en donde se intersectan las marcas se pone el punto y al final se unen los 3 puntos.
Ambos son triángulos isósceles pero pueden ser acutángulo, obtusángulo y rectángulo.

CONSTRUCCIÓN 14: Triangulo escaleno.
Construye 2 triángulos:uno con las longitudes de los segmentos AC, BD, AD y el otro con las longitudes de los segmentos AC, BD, AD Clasifica ambos triángulos de acuerdo con sus lados y a sus ángulos.

Se construye una semirrecta, el compás se habré a la medida del segmento AB y esa se transporta a la semirrecta para convertirla en segmento; se cambia la medida del compás al segmento BC y haciendo centro en un punto del segmento echo, se marca la medida y luego se vuelve a cambiar la abertura del compás a la del segmento CD, se hace centro en el otro punto y se marca esa medida hasta que se intersecte con la otra marca y formen un punto. Al final se unen los 3 puntos.

Para el otro triangulo se vuelve a trazar una semirrecta, el compás se habré a la medida del segmento AC y esa se transporta a la semirrecta para convertirla en segmento; se cambia la medida del compás al segmento BD y haciendo centro en un punto del segmento echo, se marca la medida y luego se vuelve a cambiar la abertura del compás a la del segmento AD, se hace centro en el otro punto y se marca esa medida hasta que se intersecte con la otra marca y formen un punto. Al final se unen los 3 puntos.

Sean rectos, obtusángulos o acutángulos pueden ser triángulos isósceles.

CONSTRUCCIÓN 15: Desigualdad del triangulo.
¿Se puede construir un triangulo cuyos lados miden cualesquiera valores? Si no es así entonces averigua que requisito necesita cumplir cada lado. Construye con tu regla y compás triángulos cuyos lados midan:
a) 2, 4, 5 unidades.
b) 2, 6, 2 unidades.
c) 6, 3, 2 unidades.
Para ver si es posible construir esos triángulos se hace lo mismo que en las construcciones anteriores pero las medidas a las que se habré el compás son las que se presentan en los segmentos.
El primero se puede construir y los otros dos no.
Para que se puedan construir se tiene que cumplir la "desigualdad del triangulo". La suma de los 2 lados mas cortos debe ser mayor que el tercer lado.

CONSTRUCCIÓN 16: Suma de ángulos interiores.
Dado el siguiente triangulo prueba que la suma de los ángulos interiores es igual a 180°.

Nombras los vértices del triangulo  con las letras A, B y C.
Se hace centro en B y se abre el compás a la medida que sea, luego se hace centro en A. Se corta el segmento primero con centro en A, luego con centro en B y al final con centro en C; con todos se traza la meitad de la circunferencia. Al final haces centro en el punto donde se intersecto lo que trazaste del punto C y lo del A, trazas una marca que va a cortar la media circunferencia del punto A; ahora se hace centro en donde se intersecto en la parte de abajo de la circunferencia del punto A con el lado del triangulo y de igual forma trazas una marca. Se van a unir los dos puntos que harán un segmento.

CONSTRUCCION 17: Suma de ángulos exteriores.
Dado el siguiente triangulo prueba que la suma de los ángulos exteriores es igual a 360°.

Para lograr esto tienes que nombrar los vértices del triangulo con las letras A, B y C, después tienes que prolongar los lados del triangulo.
Se abre el compás a una medida que quieras y con esa trazas los ángulos exteriores del triangulo con los lados prolongados.
Debajo del triangulo traza un circulo con la abertura que ya tenias y le trazas una recta que pase por el centro y a este le transportas la medida de los ángulos, se debe completar el circulo.

CONSTRUCCIÓN 18: Suma de dos ángulos interiores es igual al angulo exterior no adyacente. Dado el triangulo prueba que la suma de dos ángulos es igual al angulo exterior no adyacente.

Para lograr esta construccion lo que debemos hacer primero es prolongar los 3 lados del triangulo como ya lo habiamos echo en la construccion pasada, con ayuda del compas vamos a trazar los 3 angulos exteriores del triangulo.
Abrimos el compas a una distancia pequeña y se hace centro en un vertice, se marca la abertura y se hace todo lo necesario para trazar la bisectriz de ese angulo que se esta formando, tal como anteriormente ya se habia explicado.
Se hace lo mismo con todos los vertices del triangulo y obtenemos 2 angulos exteriores en cada uno de los vertices.

RECTAS Y PUNTOS NOTABLES EN UN TRIANGULO.

CONSTRUCCIÓN 19) Construye en el triangulo ABC, las tres mediatrices de sus lados y marca el punto de intersección entre las mismas.

Se hace centro en el punto A y se abre el compas a una abertura mayor que la mitad de un lado del triangulo, con esta se traza la mitad de una circunferencia y de la misma forma se hace con el punto C; se unen los dos puntos que se formaron con una recta. De igual forma se marca la media circunferencia del punto B. Se hacen las mediatrices de los 3 lados del triangulo. El punto en donde todas se cruzan te servira para hacer centro y formar una circunferencia que pase por los puntos A, B y C.

CONSTRUCCIÓN 20) Construye en el triangulo ABC, las tres bisectrices de sus ángulos.

Hacemos centro en C y se habré el compás a una abertura que sea mas de la mitad del lado del triangulo, se hacen las marcas de los dos lados y con esta se construye la bisectriz así como las veces anteriores. Se hace lo mismo con todos los puntos para sacar las bisectrices de todos los ángulos.
El punto en que se intersectan las 3 bisectrices se llama incentro y ahí hacemos centro y la abertura del compás sera del incentro al lado del triangulo AB, marcamos la circunferencia y se debe de trazar adentro del triangulo y debe rozar los 3 lados de este.

CONSTRUCCIÓN 21) Construye en el triangulo ABC, las tres medianas de sus ángulos.

Se abre el compás a mas de la mitad de todos los lados del triangulo y se hace una marca en el lado del triangulo haciendo centro en cada uno de los vértices del triangulo.
Después haciendo centro en las marcas que hiciste anteriormente; se hace un pequeño angulo con cada una de estas marcas, se hacen las mediatrices de todos los lados pero no se trazan, solo se ocuparan para elaborar un punto medio q serán las medianas. Se marca el punto en donde se intersectan.

CONSTRUCCIÓN 22) Construye en el triangulo ABC, las tres alturas de sus triángulos.

Haciendo centro en B y abriendo el compas a mas de la mitad de los 2 lados que lo unen y se hace marca en los 2 lados; se hace centro en las 2 marcas que hicimos y con estas se traza la bisectriz del punto B.
Para las alturas de los otros lados se prolonga el lado AB y el lado BC

CONSTRUCCIÓN 23) Determina cual es la suma de los ángulos internos de los siguientes polígonos, y escribe una generalización para la generalización de la suma de los ángulos internos de un polígono.

Se nombra al polígono y se marcan sus ángulos.
Dependiendo del numero de lados del polígono sera la suma de sus ángulos interiores.
Existe una formula que nos permite calcular la suma de los ángulos internos de un polígono y solo necesitamos el numero de lados que tiene el polígono y esta es:
(n-2)180°.

CONSTRUCCIÓN 24) Determina cual es la suma de los ángulos exteriores de los siguientes polígonos, y escribe una generalización para la generalización de la suma de los ángulos exteriores de un polígono.

Aquí es similar al caso de arriba solo que aquí se calcula la suma de los ángulos exteriores del polígono y se una formula pero diferente a la anterior y esta es:
(180*n)-(n-2)180°=180n.

Glosario

Glosario.

 1)PUNTO:
El punto es el elemento base de la geometría, ente fundamental, porque con él determinamos las rectas y los planos. Podemos definirlo también, como la intercesión de dos líneas. Sirve para indicar una posición y no tiene dimensión.
 Un punto es un objeto que no tiene dimensiones que indica una posición en el espacio. Se suelen designar con letras mayúsculas A, B, C,… P,…

http://www.estudiantes.info/matematicas/1eso/images/puntos-y-rectas-desarrollo.htm
http://www3.uah.es/albertolastra/geo1.pdf


2)LINEA:Aunque intuitivamente sabemos que es una línea , actualmente es díficil dar una buena definición matemática. Aproximadamente, podemos decir que una línea es una colección de puntos infinitamente delgada, infinitamente larga extendiéndose en dos direcciones opuestas. Cuando dibujamos líneas en geometría, usamos una flecha en cada extremo para mostrar que se extiende infinitamente.
Una línea puede ser nombrada ya sea usando dos puntos en la línea (por ejemplo,  ) o simplemente por una letra, usualmente minúscula (por ejemplo, línea m ).
Una línea es una sucesión de puntos o, lo que es lo mismo, un punto en movimiento. Además de ser un instrumento con el que delimitar formas y describir contornos, las líneas pueden usarse como un recurso expresivo cuando se saben explotar sus matices y asociaciones.

https://www.varsitytutors.com/hotmath/hotmath_help/spanish/topics/lines-segments-rays
https://www.aboutespanol.com/linea-que-es-tipos-caracteristicas-y-ejemplos-180132

3)LINEA RECTA:
Definimos una línea recta como una sucesión infinita de puntos consecutivos que se extienden en una misma dirección.
 no tienen comienzo ni final: son líneas compuestas de puntos que se suceden de manera indefinida. Están consideradas como uno de los entes fundamentales de la geometria, al igual que los ya mencionados puntos y los planos.

http://examendocente.com/03-secundaria/MATEMATICA/3movimiento/09.%20Elementos.pdf
https://definicion.de/recta/

4)SEMIRRECTA:
El prefijo ‘’semi’’ que se traduce como ‘’medio’’ y el vocablo ‘’rectus’’ que puede definirse como ‘’recto’’.
 Una semirrecta es cada una de las dos partes en que queda dividida una recta por cualquiera de sus puntos.

- Tiene un punto de origen y continúa hasta el infinito.

- Sabemos dónde empieza o dónde acaba.

Además la semirrecta puede recibir el nombre de media línea cerrada donde incluye el punto de origen.
   http://maestrosanblas.blogspot.mx/2015/04/linea-segmento-semirrecta-y-angulo.html

http://conceptodefinicion.de/semirrecta/

5)SEGMENTO DE LINEA RECTA:

Recta delimitada por dos puntos, ésta es una magnitud lineal finita. 

se caracteriza por que :
Es una porcion o parte de una recta.
es la menor distancia posible entre dos puntos.
y por que tiene un principio y un final, por ende es suceptible de ser medido.

Segmentos consecutivos colineales: son los que tienen un extremo en comun, y si pertenecen a la misma recta

Segmentos consecutivos no colineales: son los que tienen un extremo en comun, pero, no pertenecen a la misma recta. (un ejemplo se puede ver en estos vectores)

.http://profesor-matematicas.blogspot.mx/2008/12/segmento-de-recta.html

http://www.cecyt3.ipn.mx/ibiblioteca/mundodelasmatematicas/ConceptoDeLineaRecta.html

6) ANGULO:

La geometría que hace uso de coordenadas nace con los estudios del matemático y filosofo francés Rene Descartes (1596-1650). Pero la geometría se había desarrollado por milenios antes de ´el. Esta geometría libre de coordenadas se llama ahora geometría sintética.

El ángulo es la porción del plano comprendida entre dos semirrectas con un origen común llamado vértice. En otros casos se hace referencia a la abertura que conforman dos lados que parten de ese punto común, o se centran en el giro que da el plano respecto de su origen.

Fuente: http://concepto.de/angulo/#ixzz592GCAnYg

http://www.matem.unam.mx/~barot/clases/2012-2/16angulos.pdf

7)SISTEMA DE MEDICIÓN DE ANGULOS:

En la medida de ángulos, y por tanto en trigonometría, se emplean cuatro unidades, si bien la más utilizada en la vida cotidiana es el Grado sexagesimal, en matemáticas es el Radián la más utilizada, y se define como la unidad natural para medir ángulos, el Grado centesimal se desarrolló como la unidad más próxima al sistema decimal, se usa en topografía, arquitectura o en construcción.

Los ángulos se miden en una escala de grados o radianes.

La unidad de los radianes es muchas veces preferido en matemáticas por varias razones. Una de ellas (y no la mas importante) es que no se basa en una convención (como el de los grados, que origina en el sistema duodecimal) sino que tiene una explicación sencilla: Un angulo - medido en radianes - es la longitud del arco de un sector de un círculo con radio 1.

Sexagesimal

Aproximadamente en el año 1000 a.C. los babilonios extienden a los círculos celestes la división del día en 360 partes, y cada una de estas partes le llaman grado sexagesimal. y a la cuarta parte le corresponden 90 grados sexagesimales, que se nota por 90º.

Ahora bien como los babilonios utilizan el sistema de numeración de base 60, dividen el grado en 60 partes iguales y a cada una de estas partes la denomina minuto y se nota por 1'. Cada minuto lo subdividen a su vez en 60 segundos y cada una de estas subdivisiones lo notaron por 1''.

Así pues tenemos que un ángulo recto mide 90º, 1º= 60' y 1'= 60''.

Centesimal

La medida de ángulos centesimal se adopto con el sistema métrico decimal. El ángulo completo 360º en el sistema sexagesimal se divide en 400 partes iguales y un ángulo recto en 100, se notan por 100 ^g. Y le llama gradian.

A su vez cada grado centesimal (gradian) se divide en 100 partes iguales que son los minutos, se nota por 1^m y cada minuto se subdivide en 100 segundos que lo notaremos por 1^s.

Las operaciones son análogas a las sexagesimales pero más fáciles al usar un sistema de base 100.

Transformación de Grados a Radianes 

Las dos relaciones siguientes permiten calcular en grados la amplitud de cualquier ángulo medido en radianes; o la amplitud en radianes de cualquier ángulo medido en grados:

360 grados = 2 π radianes

180 grados = π radianes

Para transformar de grados a radianes se multiplican los grados por π radianes y luego se divide por 180°.

Ejemplo: Transformar 45 grados a π radianes.

Solución:  45° x π radianes = π radianes

                      180°                    4

PASO DEL SISTEMA SEXAGESIMAL AL SISTEMA CENTESIMAL :

Vamos a pasar 23º 37´ 45,39´´ a grados centesimales

- Pasamos los grados , minutos y segundos sexagesimales a centesimales , por separado :

23º 90º -------------------- 100

 g

g

 x =

23º . 1oo

=

 25,555556g

 23º --------------------- x

 90º

37´ 60´--------------------- 1º x =

37´. 1º

=

 0.6166667º

 37´--------------------- x

60´

 90º -------------------- 100g

 x =

0,616667º . 100

=

 0,685185g

 0,6166667º ------------ x

90º

45,39´´ 3600´´------------------ 1º x = 45,39´´. 1º

 =

 0,012608º

 45,39´´----------------- x

3600´´

 90º---------------------- 100g

 x =

0,012608º . 100

 = 0,014009g

 0,012608º-------------- x

90º

- Sumamos los resultados parciales :

 25,555556g

 0,685185g

 + 0,014009g

 -----------------------------------------

 26,254750g

- Volvemos a poner el resultado en grados , minutos y segundos :

26,254750g = 26g

 + 0,25 x 100 + 0,004750 x 10000 = 26g

 + 25´ + 47,50´´ 

https://sites.google.com/site/035funcionestrigonometricas/angulos-orientados-1/sistemas-de-medicion-de-angulos

http://www.matem.unam.mx/~barot/clases/2012-2/16angulos.pdf

http://www.dmae.upct.es/~pepemar/mateprimero/trigonometria/angulos/medang.htm

http://matematicas10nubiasanta.blogspot.mx/p/transformacion-de-grados-radianes-y.html

http://www.proteccioncivil.es/catalogo/carpeta02/carpeta24/vademecum17/vdm014ar/vdm014_1.pdf

8)CLASIFICACIÓN DE LOS ÁNGULOS SEGÚN SU MEDIDA:

para ver cual es el angulo recto, agudo, obtuso, llano, concavo y perigono ;favor de revisar el siguiente video.

https://www.youtube.com/watch?v=Ov1K_SxHn-s

9)OTRA CLASIFICACION DE ANGULOS SEGUN SU POSICION:

Para poder comprender la otra clasificacion de los angulos que es de acuerdo a su posicion y se encuentran los angulos complementarios,suplementarios, adyacentes y opuestos por el vertice ; favor  de ver los siguientes videos.

https://www.youtube.com/watch?v=Uxw_XeVnd2o
https://www.youtube.com/watch?v=pdJ7ZLPfJHE

10)TRIANGULO:

Un triángulo es un polígono de tres lados (a, b y c). Los lados confluyen dos a dos en tres puntos, llamados vértices (A, B y C).

Los tres ángulos interiores del triángulo suman 180º (π radianes).

Elementos de un triángulo

En un triángulo se pueden diferenciar los siguientes elementos:

• Vértices: puntos en los que confluyen dos lados. Tiene 3 vértices (A, B y C).
• Lados: segmentos que unen dos vértices consecutivos del triángulo y que delimitan su perímetro. Tiene 3 lados (a, b y c).
• Ángulos interiores: ángulo que forman dos lados consecutivos en el vértice en el que confluyen. Hay 3 ángulos interiores (α, β y γ). Los ángulos interiores del triángulo suman 180º (¿por qué suman 180º?):
• Ángulos exteriores: ángulo de un lado con la prolongación exterior del lado consecutivo. Hay 3 ángulos exteriores (θ). Los ángulos exteriores siempre suman 360º.
• Altura de un triángulo: La altura de un triángulo (h) es el segmento perpendicular a un lado que va desde el vértice opuesto a este lado (o a su prolongación). También puede entenderse como la distancia de un lado al vértice opuesto. Un triángulo tiene tres alturas, según el vértice de referencia que se escoja. Las tres alturas confluyen en un punto llamado ortocentro.

Los triángulos pueden ser clasificados de dos formas: por sus ángulos y por sus lados. 

http://www.universoformulas.com/matematicas/geometria/triangulo/

https://www.shmoop.com/geometria-basica/triangulos.html

11)CLASIFICACION DE LOS TRIANGULOS POR SUS LADOS

     Por sus lados sería (cuando las marcas en los lados coinciden, significa que son lados congruentes):

• Triángulo equilátero: tiene tres lados congruentes y tres ángulos iguales, cada ángulo tiene una medida de 60º.
•  Triángulo isósceles: tiene dos lados congruentes.Los ángulos opuestos a esos lados son iguales.
•  Triángulo escaleno: los tres lados son diferentes.En el triángulo escaleno los tres ángulos tienen diferente medida.                                https://www.shmoop.com/geometria-basica/triangulos.html                                                                 http://mate.ingenieria.usac.edu.gt/archivos/2.2-Triangulos.pdf                 

   12)CLASIFICACION DE LOS TRIANGULOS POR SUS ANGULOS       

• Rectángulo: contiene un ángulo un ángulo de 90º que se encuentra enfrente de la hipotenusa.·  
•   Acutángulo: sus tres ángulos son menores de 90º.·  Todos sus ángulos internos son agudos. 
•        Obtusángulo:Es el que tiene un ángulo obtuso, es decir un ángulo que mide más de 90º y menos de 180º.

http://queenlnf.blogspot.mx/2009/04/clasificacion-de-triangulos-segun-sus.html

http://mate.ingenieria.usac.edu.gt/archivos/2.2-Triangulos.pdf

13)RECTAS Y PUNTOS NOTABLES EN EL TIANGULO:

Fue Leonhard Euler (1707-1783) quien introdujo la siguiente convenci´on para denotar las partes de un tri´angulo. En un tri´angulo ∆ABC se denotan los lados opuestos a A, B y C con las mismas letras pero en min´uscula: a, b y c, respectivmente. Los ´angulos se denotan con la misma letra pero en griego: α, β y γ respectivamente.

Altura: Recta perpendicular que parte del vértice hacia el lado opuesto. forma ángulo recto con el lado opuesto al vértice desde donde se traza.

Las medianas de un triángulo son las rectas que van desde un vértice al punto medio del lado opuesto.

Las mediatrices de un triángulo son las rectas perpendiculares a cada uno de los lados en sus puntos medios.

Las bisectrices de un triángulo son las rectas que dividen cada uno de sus ángulos en otros dos iguales.

Puntos notables

 Si damos tres rectas en el plano tal que no hay paralelas entre ellas, entonces se forma un tri´angulo o estas tres rectas inciden en un punto. Lo segundo sucede en el caso de las rectas notables. A cada uno de los cuatro triples de rectas notables le corresponde un teorema: las tres rectas del triple se intersectan en un punto. Las mediatrices se intersectan en el circuncentro M. Las bisectrices se intersectan en el incentro W. Las alturas se intersectan en el ortocentro H. Las medianas se intersectan en el baricentro S.

http://www.matem.unam.mx/~barot/clases/2012-2/20notables.pdf

https://sites.google.com/site/unpocodecienciaymate/unidad-didactica-que-hago-con-los-triangulos/rectas-y-puntos-notables-de-un-triangulo

14)POLIGONOS REGULARES E IRREGULARES:

¿Qué es un polígono regular?

Un polígono regular es un polígono en el que todas las longitudes de los lados son iguales y todas las medidas de los ángulos son iguales. En otras palabras, el polígono es un polígono equilátero en el que todas las longitudes de los lados son congruentes , y es un polígono equiangular en el que todos los ángulos son congruentes .

• Triángulo equilátero: polígono regular de 3 lados,
• Cuadrado: polígono regular de 4 lados,
• Pentágono regular: polígono regular de 5,
• Hexágono regular: polígono regular de 6 lados,
• Heptágono regular: polígono regular de 7 lados,
• Octágono regular: polígono regular de 8 lados,... y así sucesivamente.

Polígono Irregular 

Polígono en el cual sus lados no son de igual longitud y/o sus vértices no están contenidos  en una circunferencia. 

https://www.ck12.org/book/CK-12-Conceptos-de-Matem%C3%A1ticas-de-la-Escuela-Secundaria-Grado-6-en-Espa%C3%B1ol/section/9.13/http://mateceblag2013.blogspot.mx/2012/11/poligonos-regulares-e-irregulares.html

http://mateceblag2013.blogspot.mx/2012/11/poligonos-regulares-e-irregulares.html

15)PROPIEDADES DE LOS POLIGONOS:

a.suma de los angulos interiores:

1.-La suma de los angulos interiores de un poligono convexo de "n" lados es igual a tantas veces un angulo llano como lados menos dos tiene el poligono 

2.-El valor de un solo angulo interior de un poligono convexo regular de "n" lados es: 

3.-La suma de los angulos exteriores de un poligono convexo es igual a 4 angulos rectos

4.-El valor de un solo angulo exterior de un poligono regular convexo de "n" lados es: 

 

5.-La suma de los angulos centrales de un poligono convexo regular es igual a 4 angulos rectos 

6.-El valor de un solo angulo central de un poligono convexo regular de "n" lados es: 

 

7.-El numero total de diagonales de un poligono es: De cada vertice de un poligono se pueden trazar (n - 3) diagonales; de los "n" vertices se podran trazar n(n - 3) diagonales, pero todo sobre dos, pues cada diagonal corresponde a dos vertices diferentes 

 

8.-La suma de los angulos interiores de un poligono concavo es igual a tantas veces un angulo llano como lados menos dos tiene el poligono. 

 

9.-La suma de los angulos exteriores de un poligono concavo es igual a 4 angulos rectos. 

b.numero de triangulos en el interior

En matemáticas decimos que si n es el número de lados del polígono, desde un vértice se pueden trazar ( n -3) diagonales y obtenemos ( n -2) triángulos. 

Recuerda que para saber cuánto mide el ángulo interno del pentagono multiplicamos 3 x 180º (es decir, multiplicamos el número de triángulos por la cantidad que suman los ángulos internos de cada uno de ellos) y al final dividimos esta cantidad entre cinco, el número de lados del pentagono. 

Es eso precisamente lo que tenemos que hacer con cualquier polígono: multiplicar el número de triángulos ( n -2) por 180° y dividirlo entre el número de lados ( n ). La fórmula general queda entonces así: 

Si n es el número de lados del polígono, 

Ángulo interno = (n - 2) x 180° / n 


FORMULA: 

# DE TRIANGULOS internos = ( n -2) triángulos. 

n = numero de lados 

en el caso del pentagono hay 3 triangulos internos. 

http://galeon.com/10ronald/webpoli/propiedad.html

https://mx.answers.yahoo.com/question/index?qid=20080227164906AAv9Lvu

16)PERIMETRO Y AREA DE POLIGONOS:

El perímetro de un polígono es la suma de la longitud de todos sus lados. La fórmula de su cálculo es diferente según si el polígono es regular o irregular:

• Polígono regular: es un polígono con todos los lados y ángulos iguales.
• Polígono irregular: polígono con con los lados y ángulos desiguales.

Como el polígono regular tiene todos sus lados iguales, su perímetro es el producto del número de lados por la longitud de uno de ellos. El perímetro del polígono irregular no admite una generalización al tener los lados desiguales, por lo que su perímetro es la suma de todos sus lados.

Perímetro del polígono regular

El perímetro de un polígono regular es la suma de todos sus lados. Como todo polígono regular tiene todos sus lados iguales, el perímetro será el producto del número de lados del polígono (N) por la longitud de uno de ellos (L):

Perímetro del polígono irregular

El polígono irregular tiene alguno o todos sus N lados diferentes. Por lo tanto, el perímetro del polígono irregular es la suma de los N lados:

El área o superficie de un polígono es igual al producto del perímetro por la apotema dividido por dos.
El perímetro es la suma de todos los lados. Si el polígono regular tiene n lados y la longitud del lado es l, el perímetro será igual a:  P = n·l. Se puede escribir la fórmula del área como:
La apotema es el segmento que une el centro del polígono con el punto medio de un lado. Si se divide el polígono regular en n triángulos isósceles, la apotema es la altura de uno de los triángulos. El ángulo α se calcula dividiendo el ángulo de 360º por el número de lados n.
	Al trazar la altura de uno de estos triángulos, se obtienen dos triángulos rectángulos. La apotema se puede calcular con:
	También se puede calcular el área de uno de estos triángulos isósceles y multiplicarla por el número de triángulos.

http://www.universoformulas.com/matematicas/geometria/perimetro-poligono/
http://serbal.pntic.mec.es/lbac0014/Trigonometria/poligono.htm

17)FORMULA DE HERON:

 Herón de Alejandría vivió hacia el siglo III a. de C. Son conocidas varias obras suyas, pero se le recuerda sobre todo por la llamada fórmula de Herón.

La fórmula de Herón halla el área de un triángulo del cual se conocen todos sus lados. El área se calcula a partir del semiperímetro del triángulo s y de la longitud de los lados (a, b y c).

En geometría, la fórmula de Herón calcula el área de un triángulo en relación con las longitudes de sus lados a, b y c:

donde s es el semiperímetro del triángulo:

Se puede encontrar una demostración de la fórmula en su libro Métrica, escrito en el 60 dC. Se ha propuesto que Arquímedes ya sabía la fórmula dos siglos antes, puesto que Métrica es una colección de los conocimientos matemáticos disponibles en el mundo antiguo.

Expresando la fórmula de Herón en forma de determinante  se obtiene este bello y simétrico resultado:

Si saltamos a las tres dimensiones, así como un triángulo está determinado por las longitudes de sus tres lados, un tetraedro lo está por las longitudes de sus seis lados. Tartaglia (ya hablamos de él en la entrada “El tartamudo de Brescia“) fue el primero que halló la fórmula del volumen del tetraedro en función de las longitudes de sus lados. Esta es su expresión:

Los determinantes de Cayley-Menger generalizan esta fórmula a dimensiones por encima de tres.

https://matesmates.wordpress.com/2013/10/27/la-formula-de-heron/

http://www.universoformulas.com/matematicas/geometria/formula-heron/

http://mimosa.pntic.mec.es/jgomez53/matema/proteo/formulaheron.htm

18)CIRCUNFERENCIA:

La circunferencia es una figura geométrica cerrada cuyos puntos están a una distancia constante r, llamada radio, del centro (C).

La circunferencia es el perímetro del círculo.

Cuerda: Es el segmento trazado entre dos puntos cualesquiera de la circunferencia.

 Radio: Es el segmento que une cualquier punto de la circunferencia con el centro de ésta. 

Diámetro: Es la cuerda que une dos puntos de la circunferencia pasando por el centro, es decir, el la cuerda de mayor longitud que podemos trazar. El diámetro mide el doble del radio. 

Arco: Es la parte de una circunferencia comprendida entre dos puntos de ella. Los arcos en una circunferencia se leen en sentido contrario de los punteros del reloj. 

• Arco: es la parte de la circunferencia que queda entre los dos extremos de una cuerda (a).
• Ángulo central: es el ángulo entre dos segmentos que van del centro a dos puntos de la circunferencia (α)
• Punto interior: punto que está dentro de la circunferencia (I), encontrándose a una distancia del centro menor que r.
• Punto exterior: puntos que están fuera de la circunferencia (E), es decir, a una distancia del centro mayor que r.
• Arco capaz: lugar geométrico de los puntos del plano desde los que se ven los extremos de una cuerda bajo un mismo ángulo. Este ángulo es la mitad del ángulo central que abarca dicha cuerda.

Tangente a una circunferencia: Recta que tiene sólo un punto en común con la circunferencia, es decir, que la intersecta en un punto. Secante a una circunferencia: Recta que corta a la circunferencia en dos puntos. 

http://recursos.salonesvirtuales.com/assets/bloques//Matematica1.pdf

http://www.universoformulas.com/matematicas/geometria/circunferencia/

19)ÁNGULOS EN UNA CIRCUNFERENCIA:

Un ángulo central: Es aquel que tiene su vértice en el centro de la circunferencia y sus lados son dos radios. “El ángulo del centro mide lo mismo que el arco que abarca” .

Un ángulo inscrito: es aquel cuyos lados están formados por dos cuerdas y que coinciden en un punto de la circunferencia que es el vértice del ángulo.

Un ángulo semi-inscrito: Está formado por una cuerda y una tangente, coincidiendo ambos en el punto en el que la tangente toca la circunferencia.

La tangente, que es perpendicular al radio, es lado de dos ángulos semiinscritos y cada uno subtiende un arco diferente. 

Un ángulo interior: Está delimitado por dos cuerdas que se cortan dentro de la circunferencia. El punto de corte es el vértice.

Un ángulo exterior: tiene su vértice fuera de la circunferencia y prolongando sus lados son cuerdas de la circunferencia.

https://www.portaleducativo.net/octavo-basico/758/angulos-de-la-circunferencia
http://www.profesorenlinea.com.mx/geometria/angulos_circunferencia.html